信号处理笔记（三）
第三部分主要讨论 LSI 系统的转移函数
转移函数定义
对于一个 LSI 系统（输入为 \(x(n)\)，经过冲激响应 \(h(n)\) 后，输出为 \(y(n)\)），可以有4种描述方法
- 频率响应
\[H(e^{j \omega}) = \sum_{n=0}^{\infty}h(n)e^{-j \omega n}\]
- 转移函数
\[H(z)=\sum_{n=0}^{\infty}h(n)z^{-n}\]
- 差分方程
\[y(n)=-\sum_{k=1}^{N}a(k)y(n-k)+\sum_{r=0}^{M}b(r)x(n-r)\]
- 卷积关系
\[y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k)h(n-k) = x(n)*h(n)\]
上述的差分方程中， \(a(k)\) 序列指的当前输出与之前输出间的线性关系，\(b(r)\) 序列为当前输出与之前输入间的线性关系。我们对差分方程两边取 z 变换有
\[Y(z) = -Y(z)\sum_{k=1}^Na(k)z^{-k}+X(z)\sum_{r=0}^Mb(r)z^{-r}\]
同时我们有 \(Y(z)=X(z)H(z)\)，因此有
\[H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{r=0}^{M}b(r)z^{-r}}{1+\sum_{k=1}^Na(k)z^{-k}}\]
这里的 \(H(z)\) 称为系统的转移函数。既可以定义为 LSI 系统抽样响应 \(h(n)\) 的 z 变换，也可以定义为系统输入输出 z 变换之比。
同样，在差分方程中 \(a(k)=0,k=1,2,...,N，b(0)=1\)。物理意义上，该系统没有“记忆性”，即当前输出只和之前的输入有关，而与之前的输出无关，没有反馈性。那么转移函数为
\[H(z)=1+ \sum_{r=1}^{M}b(r)z^{-r}\]
对应的差分方程
\[y(n)=\sum_{r=1}^Mb(r)x(n-r)+x(n)\]
其抽样响应为
\[h(n)=\sum_{r=0}^Mb(r) \sigma(n-r) \]
即有 \(h(0)=b(0),h(1)=b(1),...,h(M)=b(m), h(n)=0 ,n>M\)。显然该系统是 FIR 系统，因此不会有无限长的冲激响应。但如果 \(a(k)\) 不全为0，那么输入端将包含输出端的反馈，为 IIR 系统，\(h(n)\) 将是无限长，存在稳定性问题。
总结一下，对于一个 LSI 系统，给定其转移函数，可以求出差分方程（时域表示）；同样给出差分方程，也能求出转移函数（频域表示）。
离散系统的极零点分析
将转移函数进行因式分解，有
\[H(z)=gz^{N-M} \frac{\prod_{r=1}^M(z-z_r)}{\prod_{k=1}^N(z-p_k)}\]
式中 \(g\) 称为系统的增益因子，本式中 \(g=b(0)\)。使分母多项式等于 0 的 \(z\) 值，即 \(p_k(k=1,2,...,N)\) 称为系统的极点。使分子多项式等于 0 的 \(z\) 值，即 \(z_r(r=1,2,...,M)\)，称为系统的零点。
系统的稳定性判据
对一个 LSI 系统而言，将转移函数继续分解，得到
\[H(z)=\sum_{k=1}^N \frac{C_kz}{z-p_k}\]
这个式子还是稍微证明一下，我反正是看了半天才推导出来。逆向推导会相对容易
\[\begin{split} & \sum_{k=1}^N \frac{C_kz}{z-p_k} \\\ =& \frac{C_1z \frac{\prod_{k=1}^N(z-p_k)}{z-p_1}+C_2z \frac{\prod_{k=1}^N(z-p_k)}{z-p_2}+...+C_Nz \frac{\prod_{k=1}^N(z-p_k)}{z-p_N}}{(z-p_1)(z-p_2)...(z-p_N)} \\\ =& \frac{E_Nz^N+E_{N-1}z^{N-1}+...+E_1z}{z^N+D_{N-1}z^{N-1}+...D_1 z + D_0} \\\ =& \frac{\sum_{r=0}^Mb(r)z^{-r}}{1+\sum_{k=1}^{N}a(k)z^{-k}} \end{split}\]
每个因式 \(\frac{C_iz}{z-p_i}\) 对应一个时域序列 \(C_ip_i^n\)，因此 \(H(z)\) 对应的 \(h(n) = \sum_{k=1}^NC_kp_k^n\)
对于因果系统而言 \(h(n)=0, n<0\)。因此系统稳定的条件为 $_{n=0}^{} |h(n)| < $，则有
${n=0}^{} h(n) = {n=0}^{} {k=1}^N C_kp_k^n {k=1}^N C_k _{n=0}^{} p_k^n $
因为 \(\lvert C_k \rvert\) 是常数项，因此若要右边小于 \(\infty\)，则必须有
\[\lvert p_k \rvert < 1, k=1,2,...,N\]
一般我们接触的系统都是因果系统，所以上面的判据也够用了。但对于广义的 LSI 系统而言，其稳定的充要条件是收敛域包含单位圆。
由极零图估计系统的频率响应
将 \(H(z)\) 的极点和零点画在 z 平面上得到的图形称为极零图。令 \(z=e^{j \omega}\)，即 \(z\) 在 s 平面的单位圆上取值。转移函数变为
\[H(e^{j \omega})=ge^{j(N-M) \omega} \frac{\prod_{r=1}^M(e^{j \omega}-z_r)}{\prod_{k=1}^N(e^{j \omega}-p_k)}\]
可以将 \(e^{j \omega}\) 看作单位圆上的一点（或从原点到\(e^{j \omega}\) 的向量）。\(z_r\) 是平面上的零点，因此 \(e^{j \omega}-z_r\) 表示由零点 \(z_r\) 到 \(e^{j \omega}\) 的向量，\(e^{j \omega}-p_k\) 表示由极点 \(p_k\) 到 \(e^{j \omega}\) 的向量。那么系统的幅频响应和相频响应为
\[\begin{split} \lvert H(e^{j \omega}) \rvert &= \frac{g \prod_{r=1}^M \lvert e^{- j\omega}-z_r \rvert}{\prod_{k=1}^N \lvert e^{j \omega}-p_k \rvert} \\\ \varphi(e^{j \omega}) &= arg[e^{j(N-M) \omega }]+\sum_{r=1}^M[arg(e^{j \omega}-z_r )] - \sum_{r=1}^N[arg(e^{j \omega}-p_k )]\end{split}\]
对于相频响应曲线，因为反三角函数的计算特点，可能会在某些地方有 \(2 \pi\) 的跳变。可以通过解卷绕的方式修正这个问题，即在跳变以后的各处都加上（或减去）\(2 \pi\)。